容斥问题是指多个集合中在某种条件下，相互包容或相互排斥，求解特定情况数的2026 世界杯一种计数问题。在考试中，为了2026 世界杯举办地使大家容易快速区分类型，我2026 世界杯赛程们将题目分成两个集合和三个集合的常规型容斥问题，公式法和画图法，会哪个用哪个哦，下面我们主要讲解一下画图法。

　　画图法

　　（1）标数时，注意由中间向外围标记；

　　（2）图示中每一部分都有自己的含义，标数切不可写错；

　　（3）注意“满足某条件”和“仅满足某条件”区分，及“三个条件都不满足”的情形。

　　两集合型

　　【例1】某班有60人，参加物理竞赛的有30人，参加数学竞赛的有32人，两科都没有参加的有20人。同时参加物理、数学两科竞赛的有多少人？（）

　　A. 28人 B.26人 C. 24人 D. 22人

　　【解析】设两个竞赛都参加的有x人，由于参加数学人数+参加物理人数-都参加的人数=总人数-都未参加人数，30+32-x=60-20，解得x=22。选择D。

　　【例2】某高校大学生数学建模竞赛协会共有240名会员，今欲调查参加过国家级竞赛和省级竞赛的会员人数，发现每个会员至少参加过一个级别的竞赛。调查结果显示：有7/12的会员参加过国家级竞赛，有1/4的会员两个级别的竞赛都参加过。则参加过省级竞赛的会员人数是（）。

　　A. 160 B. 120 C. 100 D.140

　　【解析】参加国家级竞赛人数为240×7/12=140，参加两个级别竞赛的人数是240×1/4=60，根据两集合公式可得：240=140+省级人数-60，解得省级人数为160。选择A。

　　三集合型

　　【例3】如图所示，X、Y、Z分别是面积为64、180、160的三张不同形状的纸片。它们部分重叠放在一起盖在桌面上，总共盖住的面积为290。X与Y、Y与Z、Z与X的重叠面积分别为24、70、36，则阴影部分的面积是（ ）。

　　A. 12 B. 16 C. 18 D.20

　　【解析】应用三集合公式，可知：290＝64＋180＋160-24-70-36＋阴影面积，容斥问题涉及加减运算的量比较多，所以经常采用尾数法简化计算。比如此题0=4+0+0-4-0-6+阴影面积，解得阴影面积的尾数为6。解得阴影为16。选择B。

　　【例4】某专业有学生50人，现开设甲、乙、丙三门选修课。有40人选修甲课程，36人选修乙课程，30人选修丙课程，兼选甲乙两门课程的有28人，兼选甲丙两门课程的有26人，兼选乙丙两门课程的有24人，甲乙丙三门课程均选的有20人，问三门课程均未选的有多少人？

　　A. 1人 B. 2人 C.3人 D. 4人

　　【解析】设三门课均未选的人数为x人，由于总人数=选择甲+选择乙+选择丙-选择甲乙-选择甲丙-选择乙丙+选择甲乙丙+未选择甲乙丙，可得到50=40＋36＋30-28-26-24＋20+x，解得x=2。或用尾数计算为2。选择B。

　　【例5】某企业调查用户从网络获取信息的习惯，问卷回收率为90%。调查对象中有179人使用搜索引擎获取信息，146人从官方网站获取信息，246人从社交网站获取信息，同时使用这三种方式的有115人，使用其中两种的有24人，另有52人这三种方式都不使用，问这次调查共发出了多少份问卷？（）

　　A. 310 B. 360 C. 390 D.410

　　【解析】由于“总数-不满足任何条件的情况=满足条件Ⅰ的+满足条件Ⅱ的+满足条件Ⅲ的-仅满足2个条件的-2×满足3个条件的”可知，收回问卷数-52=179+146+246-24-2×115。解得收回问卷369份，故发出问卷数量为369÷90%=410（份）。选择D。